General Writing | Mohd Ali Khameini Ahmad

MENJENGKELKAN

Ketidakterhinggaan

Aku mengenalinya bukanlah dari kecilku

Mungkin pada waktu remajaku

Seringkali diperingat dia bukanlah nombor

Hanya satu konsep

Salah! Jerit guruku

Bila setiap kali dia diletakkan sebagai jawaban

Persamaan yang cuba diselesaikan

Sungguh aku tidak mampu melupakannya

Dari zaman awal lagi sudah diperdebat

Sungguh mengujakan

Menerima? Menolak? Tidak mengapa

Asal beri manfaat banyak

Sudah dikatakan dalam banyak catatan

Jika diukur panjangnya garis pantai

Yang memisahkan lautan dan daratan

Borneo contohnya

Jika skala ukurnya berbeza

Sama diikut juga jaraknya berbeza

Yang popularnya alam ini mengembang

Mungkin perlu diperhalusi

Maksud pengembangannya

Mudahnya

Mana-mana dua titik yang tidak terikat gravitinya

Jaraknya meningkat senantiasa

Walaupun hanya diawangan

Dua ini sudah bisa sahaja

Memberitahu jarak itu bisa juga ketidakterhinggaan

Itu belum lagi dibicara alam kemudian

Ah! Menjengkelkan jika bicara nya diteruskan

Matematik pun begitu

Teruja bila disebutkan perihal ini

Sungguh tidak harus

Bicaranya itu diberhentikan.

M. A. K. Ahmad

8 September 2021

BIDADARIKU

Masihkah kau ingat?

Kita mengikat janji

Untuk hidup bersama

Sebagai pasangan sehidup semati

Itulah lima tahun yang lalu

Belum pun cukup sepurnama

Aku pula pergi merantau

Tinggalkan kau keseorangan

Lapan belas bulan lamanya kau kepedihan

Dan aku hanya mampu mendengar

Kelantangan, kecekalan, ketabahan

Yang kau pamerkan

Buat aku terpegun

Kau beradu di neraca perburuhan

Kau memikul bebanan perpindahan

Kepulanganku memberi keceriaan

Walaupun untuk seketika

Sikapku mungkin banyak berubah

Seperti aku berlari anak di trek balapan

Hanya tunduk melihat dua garis

Yang menjadi panduan larianku

Dan menyangka aku sentiasa berlari lurus

Maafkan aku

Guruku pernah berkata

Andaikan kau setiap hari berjalan menuju ke kota

Dimana setiap harinya

Kau hanya berjalan seperdua

Dari jarak kau dan kota pada hari berkenaan

Disitu akan kau dapati

Tidaklah kau sampai di kota cuma kau menghampirinya

Ingin aku serasikan ini dengan kebahagian kita

Sama-sama kita menghampirinya

Semoga percikan bahagia itu berkekalan

Kesungguhan kau mendidik anak watan

Menjadi ilham penulisan ini

Walaupun teraturnya tidak

Cukuplah ini sebagai kenangan

Untuk aku selitkan dalam fail kehidupan

Kerana engkaulah bidadariku!

M. A. K. Ahmad

6 September 2021

BUKAN SIAPA-SIAPA

Insan ini dilahirkan di sebuah hospital

Dalam keluarga yang mengerti apa itu pendidikan

Pagi nya disuruh kesekolah

Tidak kurang juga pada petang nya

Hingga dahulu sanggup ke sekolah di awal pagi

Hanya untuk mengesahkan sekolah sedang bercuti

Ketika keluarga ini baru memiliki kamera

Gambar pertamanya adalah bersama ibunya

Berlatarkan perpustakaan kecil

Sebuah almari buku di dalam rumah

Yang disediakan ibunya

Supaya membaca menjadi amalan

Insan ini sering membelek kamus bergambar

Gambar dan perkataan jurutera menjadi tarikan

Dijadikan cita-cita waktu kecilnya

Walaupun tidak mengerti apa maknanya

Untuk menjadi seorang jurutera

Kini ia bersemadi bersama kenangan

Pendidikan insan ini berjalan seperti biasa

Diberikan bantuan kewangan oleh pemerintah

Dari bangku sekolah hinggalah ke menara gading

Supaya dia teguh dilandasan ilmu

Gurunya pernah berkata pergilah kamu

Carilah ilmu sampai negeri orang

Insan ini bukanlah siapa-siapa

Hanyalah seorang insan

Yang mungkin akan diberikan cahaya mata

Untuk meneruskan putaran roda

Yang hanya bekerja sebagai pengajar

Menjadi tempelan dalam masyarakat

Sehinggalah kiamat tiba kelak

M. A. K. Ahmad

10 Jun 2021

LIF KOSONG

Sudah lama aku tidak pulang ke kampung. Hari ini aku pulang bersama keluargaku ke sana. Ada bilik khas pak cik aku di rumah itu. Pak cik aku sudah lama meninggalkan kami. Bila masuk bilik tersebut, aku akan membelek buku catatan kerja-kerja beliau semasa menjadi wartawan di ibu kota dahulu. Dahulu aku rapat dengan beliau. Sering keluar jalan-jalan keliling kampung ketika cuti sekolah. Sejak beliau meninggalkan kami, catatan ini lah yang menjadi pengubat rindu. Setiap laporan akan beliau catatkan dalam buku ini. Antara kisah yang aku tertarik adalah kisah mengenai lif kosong. Kejadian ini berlaku disebuah syarikat berteknologi tinggi terkemuka di ibu kota.

Kisahnya bermula begini. Pada suatu hari, satu kejadian telah berlaku di syarikat tersebut. Ia berlaku di salah satu bangunan ikoniknya di ibu kota. Apa yang berlaku adalah, pada suatu awal pagi ada 9 orang telah menaiki lif kosong dari tingkat paling atas bangunan syarikat berkenaan. Mereka baru sahaja selesai bermesyuarat. Mereka kesemuanya ingin turun ke lobi. Lif tersebut turun ke lobi tanpa henti dan tiada orang keluar masuk lif. Setibanya di lobi, didapati 10 orang telah keluar dari lif tersebut. Situasi ini menyebabkan ramai orang terkejut, termasuklah pak cik aku. Sebagai seorang wartawan, pak cik aku tertarik untuk membuat liputan terhadap kejadian ini. Bagaimana boleh 9 orang memasuki lif yang kosong dan kemudiannya keluar menjadi 10 orang. Sedangkan lif tidak berhenti, tiada orang keluar masuk lif. Ia membuatkan jiwa pak cik aku tidak tenteram. Beliau cuba untuk menyiasat dan memahami kejadian ini. Pak cik berkata jika dia dapat memahami serta melaporkan kejadian ini, ia akan menjadi antara liputan terhebat beliau tahun tersebut.

Langkah pertama yang diambil pak cik aku adalah bertanyakan pihak pengawal syarikat tersebut. Mungkin ada perisik atau musuh syarikat ingin menyertai mesyuarat pagi itu. Tetapi sangkaan pak cik tersasar sama sekali. Ini kerana kawalan yang sangat ketat bagi sesiapa yang ingin memasuki bangunan tersebut. Pak cik aku buntu seketika hari itu. Dalam kebuntuan itu, dia teringat akan kenalannya seorang ahli fizik

Dengan segera pak cik aku menelefon kenalannya itu. Selepas menerangkan kejadian tersebut, ahli fizik itu berkata kejadian ini sangat mudah untuk difahami. Ini dapat dijelaskan dengan beranggapan lif tersebut bergerak sangat laju, mungkin melebihi kelajuan cahaya. Ia memungkinkan kejadian merentas masa berlaku. Semasa proses itu berlaku mungkin ada seseorang telah merentasi masa dan telah memasuki lif tersebut. Pak cik aku mengangguk-anggukkan kepalanya. Penjelasan ini mententeramkan sedikit jiwa beliau. Selepas itu, pak cik aku terus membuat sedikit pencarian berkenaan rentas masa. Beliau juga melihat lebih lanjut berkaitan teknologi-teknologi tinggi yang dihasilkan syarikat tersebut. Ini bagi penyediaan laporan beliau terhadap liputan kejadian ini. Kemudiannya beliau mendapati penerangan kenalannya itu masih tidak dapat memuaskan hati nya. ’Merentas masa masih lagi anggapan yang belum dapat diterjemahkan”, tulis pak cik aku.

Selepas berhempas pulas di malam hari memikirkan kejadian tersebut, keesokan harinya, pak cik aku berjumpa dengan seorang ahli biologi di universiti berdekatan rumahnya. Pak cik aku menceritakan kejadian semalam itu kepada ahli biologi tersebut. Ahli biologi tersebut berkata kejadian ini sangat mudah untuk difahami. Kejadian itu boleh berlaku jika salah seorang daripada mereka yang menaiki lif tersebut merupakan perempuan yang sarat mengandung. Perempuan tersebut terpaksa melahirkan anaknya ketika menaiki lif tersebut. Penjelasan ini sekali lagi melegakan jiwa pak cik aku. Beliau boleh mula menulis laporan untuk kejadian tersebut dengan tenang. Pak cik aku pun menyemak maklumat setiap orang yang menaiki lif tersebut pagi semalam. Tetapi dari semakan tersebut pak cik aku mendapati tiada pula seorang perempuan yang sarat mengandung. Ini membuatkan jiwa pak cik aku menjadi tidak tenteram semula.

Pak cik aku ingin menenangkan jiwanya. Beliau pergi ke taman pada petang hari tersebut. Di sana beliau terserempak dengan seorang ahli matematik. Pak cik aku mengenali ahli matematik ini melalui berita-berita kerana sering menjadi rujukan awam. Pak cik aku pun bercerita tentang kejadian yang berlaku semalam kepada ahli matematik tersebut. Ahli matematik itu tersenyum. Begitu juga pak cik aku. Ini kerana ahli matematik itu menjelaskan bahawa kejadian ini boleh difahami dengan satu ayat ringkas ini. Ayat tersebut ialah dengan memberi maksud terhadap lif kosong. Bagi ahli matematik tersebut lif kosong bermaksud didalamnya tiada orang atau ada satu orang didalamnya.

Mendengar penjelasan tersebut, jiwa pak cik aku tenteram semula. Dalam catatan beliau, seperti biasa ”kes selesai” dinukilkan. ”Jauh aku pergi, akhirnya aku perlu juga kembali sekali sekala kepada perkara asas untuk memahami sesuatu permasalahan”, kata pak cik aku dalam catatan nya itu. Laporan kejadian ini pak cik aku tidak terbitkan dimana-mana melainkan buku catatan beliau.

M. A. K. Ahmad

18 Jun 2021

NOMBOR ITU

Sering sahaja kita membilang

Satu, dua, tiga, dan seterusnya

Bilangan ini tidak terbatas

Bukan sahaja kehadapan

Kebelakang juga dia tidak terbatas

Jika satu ditambah satu dan ditambah satu lagi

Dia menjadi tiga

Ditambah satu lagi dan seterusnya

Maka nilainya juga bertambah

Begitulah mudahnya untuk difahami

Andai analisis nyata menjadi sandaran

Bertambah itu semakin besar nilainya

Jika analisis p-adik pula dijadikan sandaran

Maka nilai tambah tadi adalah terbatas

Tidaklah nilainya semakin membesar

Nilai tadi jika dia jarak

Maka di ruang nyata semakin jauh kita pergi

Tapi di ruang p-adik terbataslah jarak permusafiran kita

Ditambah kehadapan maka kehadapan kita

Tapi boleh juga ditambah kehadapan kita kebelakang

Andai kita mahu melakar bilangan ini

Nombor nyata hanya cukup satu garisan

Bagi nombor p-adik lakarannya adalah pokok

Setiap ranting menjadi kedudukan setiap bilangan

Begitulah boleh dibayangkan kehadapan dan kebelakang

Bulatan atau sfera itu

Difahami sebagai sekumpulan titik-titik

Yang jaraknya dengan titik pusat adalah sama

Di ruang nyata titik pusat ini unik dan dia di luar bulatan

Tapi di ruang p-adik setiap titik adalah titik pusat

Andai titik pusat itu pemimpin

Maka nombor itu boleh juga mengasyikkan

M. A. K. Ahmad

1 Oktober 2021

DIA TETAP BERLALU

Bergeraknya tidaklah lurus

Tidak juga bengkok

Sering berganjak

Tanpa disedari penumpang

Dia sudah pergi

Digamitnya kebelakang

Terlepas kehadapan

Didorongnya kehadapan

Bertaburan pula kebelakang

Adakah wujud hadapan belakang itu?

Dia diikat dengan kuat

Bersama ruang

Untuk memudahkan urusan

Dan jika tidak diikat

Adakah dia tidak berlalu?

Dia watak utama persoalan antik

Datangnya bersama?

Atau datang dahulu?

Atau mungkin datangnya kemudian

Dengan makhluk yang diikat bersamanya

Makhluk unik ini

Sungguh dia memberi banyak manfaat

Dia umpama emas

Kerana selain nilai itu kepada tempat

Dia juga sering kali dinilaikan

Andai manusia mampu menguasainya

Adakah manusia akan sombong?

Namun

Mampukah dia dikuasai?

Kerana setiap kali

Dia tetap berlalu

Dan tanpa sedar

Membawa manusia ke alam yang lain

M. A. K. Ahmad

21 November 2021

MENELUSURI DENAI AKU BERSAMA NOMBOR P-ADIC

Tulisan ini hanyalah pengalaman aku (penulis) yang bergelumang dalam bidang matematik. Kata-kata yang masih diingati penulis daripada penyelianya, ”Matematik itu ibarat hutan rimba. Engkau perlu membuat persiapan rapi sebelum memasukinya. Supaya tidaklah engkau mudah sesat apabila berada didalamnya”. Sambungan kata-kata ini, ”Juga apabila engkau sudah asyik didalam hutan itu, pastinya jua engkau tersesat. Saat itu engkau tidak lagi menghiraukan dunia luar. Cumanya engkau hanya mahu menyelamatkan diri dan mencari bantuan”.

Aku terdedah dengan kajian matematik bermula dengan nombor p-adic. Mulanya tidak mengerti. Cuma dijelaskan daripada nombor nisbah, dia bisa dilengkap kepada nombor nyata atau nombor p-adic. Jika diimbas secara kasarnya, salah satu cara pelengkapan nombor nisbah kepada nombor nyata adalah dengan mengambil semua had janjang Cauchy untuk nombor nisbah, iaitu setiap janjang Cauchy untuk nombor nisbah adalah menumpu. Disini secara tidak langsungnya jarak memainkan peranan penting. Ini kerana dengan jarak kita mampu membuktikan janjang itu menumpu atau tidak. Bagi pelengkapan nombor nisbah kepada nombor nyata, sudah pasti jarak yang diinspirasikan itu daripada pemahaman biasa iaitu absolute value. Jarak antara dua nombor adalah absolute value nilai beza antara dua nombor tersebut.

Begitu jugalah perihalnya dengan nombor p-adic. Dia adalah pelengkapan nombor nisbah dengan jarak yang diinspirasikan oleh p-adic absolute value. Ini bertepatan dengan Teorem Ostrowski dimana ”mana-mana absolute value yang tidak trivial untuk nombor nisbah adalah bersamaan absolute value biasa atau p-adic absolute value”. Jarak dalam dunia p-adic ini adalah bermaksud jarak dua nombor dekat jika nilai beza antara mereka dapat dibahagi dengan nombor perdana p dengan banyak kali. Cara pemahaman jarak ini juga masih berterusan apakah maksudnya.

Contoh mudah jika satu ditambah satu dan ditambah lagi maka boleh difikirkan jaraknya semakin meningkat. Maka jika diteruskan penambahan itu, jarak itu boleh tiada had. Ini berlainan dengan jika jaraknya tadi kita ukur dengan gaya p-adic. Kita akan dapati dia tidak akan melebihi nilai satu pun malah semakin mengecil jaraknya. Erti kata lain, nombor tabii itu semakin menjauh dengan sifar jika jarak biasa kita gunakan dan semakin mendekat dengan sifar jika jarak p-adic digunakan, iaitu masingmaing tidak terbatas dan terbatas. Sesetengah pengkaji menganggap mungkin pada skala yang cukup besar, kosmos, atau skala yang cukup kecil, atom/molekul, jarak p-adic ini lebih sesuai diguna.

Jarak p-adic ini juga membuatkan geometri nombor p-adic itu istimewa. Ini kerana dia membuatkan ciri ketaksamaan segitiga yang lebih kuat iaitu ultrametric. Hal ini membuatkan hanya segitiga sama kaki yang wujud. Maka dunianya lebih terbatas dan terkawal segitiganya. Ini tidak seperti satah Euklid yang segitiganya lebih pelbagai. Membolehkan pelbagai seni bentuk yang terhasil.

Lain pula dengan disk (bulatan penuh). Dalam satah Euklid yang jaraknya biasa (Euklid), pusat disk tersebut hanyalah satu. Kita boleh beranggapan dalam komuniti seringkali kita perlukan seorang ketua untuk mengepalai komuniti. Ini tidak terjadi dalam suasana p-adic. Perkara ini kerana setiap titik dalam bulatan penuh adalah pusat untuk bulatan tersebut. Boleh dikatakan setiap individu dalam komuniti itu memain peranan masing-masing yang penting untuk memacu kehadapan komuniti tersebut.

Terakhir yang menarik adalah siri (penambahan tak terbatas). Ini adalah impian setiap pelajar sarjana muda. Dalam situasi p-adic, jika janjangnya menumpu ke sifar (tambah nilai yang kecil) menurut jarak p-adic maka siri tersebut akan menumpu. Ini tidak terjadi jika siri nyata kita peduli, contoh mudah, siri harmonik dimana dia tidak menumpu walaupun janjangnya menumpu ke sifar. Walaupun analisa menampakkan kemudahan dalam situasi p-adic dan macam dia tidak memberi impak, namun masih ada aspek lain lagi yang sudah pasti dia tidak kering gusi untuk kita mendalaminya.

Cukup sehingga disini dahulu tulisan aku dalam menelusuri denai yang telah dilalui. Kemudian, mungkin akan menulis pula aspek kajian yang telah aku terokai, jika jodohnya ada.

M. A. K. Ahmad

31 Januari 2023

PERSAMAAN POLINOMIAL NOMBOR P-ADIC: SUATU PERMULAAN

Rencana liar ini merupakan sambungan dari tulisan sebelumnya oleh penulis dalam melayari bahtera di samudera nombor p-adic. Bermuladidalam satu bilik kuliah bersama penyelianya. Antara ayat pertama ketika itu adalah “Let us talk about cubic equation”. Ini merupakan titik mula penulis menggali semula khazanah perihal persamaan polinomial. Seperti diketahui umum, nombor kompleks itu mula muncul kembali perbincangannya apabila persamaan kubik perlu diselesaikan. Dia terkait dengan formula Cardano dalam memberikan bentuk “tepat” untuk satu-satu persamaan kubik.

Tidak terlepas jika berbicara mencari punca untuk kubik ini, penyelesaian secara geometri sudah pun dilengkapkan oleh sarjanasebelumnya, iaitu Omar Khayyam. Cuma dalam pelayaran ini, penulis lebih menumpukan masanya untuk memahami formula Cardano. Hal ini disebabkan geometri nombor p-adic ituadalah berbeza dengan nombor nyata, seperti yang penulis nukilkan dalam tulisan yang lepas. Jika ingin dilukiskan nombor nyata sudah memadai dengan satu garisan. Maka dengan itu mudah untuk diterjemahkan satu-satu persamaan nombor nyata sebagai fungsi dandilukiskan graf fungsi itu untuk dicari titik persilangan, punca fungsi dan lain-lain di atas satah Euclid.

Perkara terebut adalah aneh dilakukan di alam p-adic. Hal ini kerana jika ingin digambarkan nompor p-adic, kita memerlukan pokok yang tak terbatas, iaitu graf ringkas yang tiada pusingandan setiap bucu mempunyai jumlah pinggiran yang sama. Disebabkan perkara ini, untuk melukis graf bagi fungsi nilai p-adic adalah berbeza kaedahnya dengan fungsi nilai nyata malah mungkin lain imaginasinya. Jadi adalah lebih mudah untuk memahami atau menyelesaikan persamaan kubik p-adic ini secara aljabar, dan perkara ini dimudahkan lagi bagi persamaan polinomial yang kuasanya kecil seperti kuadratik, kubik, dan kuartik.

Bagi kuasa satu (linear) punca bagi persamaan ini sama untuk nombor nyata dan p-adic. Tiada punca kuasa yang terlibat. Bagi kuasa dua, tiga,dan empat kita ada formula kuadratik, Cardano,dan Ferrari bagi setiap satu. Sengaja penulis menampilkan nama-nama sarjana dari Itali ini kerana sudah pasti hikayat mereka dalam pertandingan menyelesaikan persamaan-persamaan ini diabadikan. Perkara ini juga lah menjadi suatu teorem yang menarik iaitu, “Tiada punca dalam ‘bentuk radikal’ untuk polinomial kuasa lima dan keatas.” Ini dibuktikan oleh Abel. Sementara itu, Galois pula mempersembah teorem yang lebih umum sehingga mencetus bidang yang anggun. Beliau memberitahu kita polinomial mana yang boleh diselesaikan melalui bentuk radikal dan polinomial mana yang tidak boleh, tanpa menghiraukan kuasa persamaan polinomial tersebut.

Kembali kepada formula kuadratik, Cardano dan Ferrarri, ia menjadi asas penyelesaian persamaan polinomial nombor p-adic seperti dibincangkan didalam bilik kuliah pada awal tadi. Formula-formula ini tidak memberi ketenangan juga kepada penulis sebenarnya. Ini adalah keranahanya formula kuadratik yang kelihatan ringkas dan seterusnya menjadi kompleks dan panjang bagi kubik dan kuartik. Cumanya bukan semata-mata formula ini digunakan, tetapi cara penyelesaian ke arah formula ini juga memainkan peranan penting.

Mari kita menjelajah satu persatu persamaan kuasa rendah ini dalam nombor p-adic.

Pertamanya, sudah pasti persamaan linear. Umum mengetahui kita mampu menyelesaikan persamaan ini dengan mudah. Keduanya, persamaan kuadratik. Yang ini juga agak ringkas. Umum juga sedar untuk meraih formula kuadratik, kita perlu membuat aksi ‘ completing the square’, dan disinilah bermula perbezaan penyelesaian persamaan nombor nyata dan nombor p-adic.

Bila berbicara persamaan p-adic, dia seperti kita menyelesaikan persamaan kongruen yang tidak terbatas banyaknya, iaitu kita perlu menyelesaikan persamaan bagi modulo p kuasa n (mod p^n) untuk setiap n bersamaan 1,2,3, dan seterusnya. Inilah antara perbezaan utama yang boleh penulis katakan, dan disini peranan bidang Teori Nombor kelihatan. Sebagai akhirnya, untuk persamaan kuadratik p-adic, dia boleh diselesaikan jika diskriminannya (yang kita boleh dapatinya daripada kuadratik formula) adalah satu kuadratik mod residu p untuk p lebih besar daripada 2 dan diskriminannya bersamaan 1 modulo 8 untuk p = 2. Ini merupakan dapatan umum yang diketahui.

Seterusnya, bagi kubik, ini lah bidang yang penulis pelopori bersama gurunya. Penulis bersyukur kehadrat Ilahi kerana tahun 2023 ini penulis dapat menyelesaikan kesemua kes bersama rakan rakan. Setelah hampir sedekad, kes terakhir ini dapat diselesaikan. Sedangkan ia adalah kes pertama yang penulis dan gurunya bincangkan dulu. Sungguh tidak disangka. Seperti kuadratik, bukanlah formula akhir yang dilihat tetapi prosesnya juga dinilai. Seperti amalan dunia, tidaklah hujungnya sahaja dikira, semestinya perantara awalan dan akhiran juga dinisbahkan. Seperti Cardano, penulis akan menjadikan setiap kubik kepada bentuk ‘depressed’ nya iaitu persamaan kubik tanpa (=0) pekali kuasa dua. Disinilah penulis bersama gurunya menimbulkan suatu teknik untuk menyelesaikan persamaan kubik seakan penyelesaikan persamaan kuadratik tanpa melihat diskriminan. Ini merupakan kaedah lain daripada dapatan umum kuadratik yang dibicarakan sebelum ini. Kaedah ini dapat memudahkan beberapa kes yang terpencil dan hanya perlu melihat kes yang berdampak besar.

Tiba kepada kuartik, tidak dapat dihadamkan kesemuanya kerana usaha penulis hanya tertumpu dari bawah ke atas, daripada spesifik kepada umum. Tidak lah dapat dilumatkan sepenuhnya. Mungkin perlu dilihat kes kuartik ini dari atas kebawah, daripada umum kepada spesifik sepertimana Galois lakukan dalam hasil kajiannya. Ini kerana untuk daripada spesifik kepada umum, penulis perlu melihat persamaan kongruen kuadratik, kubik, kuartik, dan seterusnya. Dimana setiap kongruen itu sudah cukup menghasilkan suatu bidang yang besar. Sudah ada penyelesaian persamaan kongruen ini bagi kuadratik, kubik, dan kuartik. Penyelesaian sudah pasti berkait dengan perbincangan ‘quadratic, cubic & quartic residue’ atau umumnya ‘nth power residue’. Perbincangannya semakin mengukuh. Namun masih tidak mencukupi. Mungkin kerana nombor perdana itu sangat istimewa. Sukar untuk dirungkai secara pukal kesemuanya. Ini memberikan semangat kepada penulis untuk terus meneroka dan memahami lanjut perihal persamaan kuartik p-adic ini. Semoga tidak terhenti.

Teringat setelah selesai perbincangan di bilik kuliah biasanya penulis akan pergi makan bersama gurunya. Didalam kereta ke kafe mereka akan melalui kawasan pembinaan. “Look brother, the construction people work very hard to finish this construction! So do us. We need to work hard too! So that we will not left behind and feel bad with our work. With the pray that we will get a very good result at the end. The rest we leave it to Him”. Dengan nada tegas seperti biasa gurunya bila berkata. Semoga dengan ini penulis lebih cekal dan tabah.

Sampai disini dahulu tulisan ini. Mungkin seterusnya penulis akan berkongsi lagi rencana jika berkesempatan. Sudah pasti akan berkisar, mengapa perlu meneroka persamaan p-adic ini? Jawapan ringkas penulis ialah kerana penulis ingin menyelesaikan permasalahan kebarangkalian. Iniakan dikongsikan kelak, dengan izin Nya.

M. A. K. Ahmad

1 Mei 2023

KEBARANGKALIAN P-ADIC: LATAR DISEBALIK PERJALANAN NOMBOR P-ADIC KU

Catatan kali ini, penulis ingin mengimbau kembali mengapa penulis ingin menyelesaikan persamaan polinomial dalam nombor p-adic dalam tulisan yang lepas. Bermula dengan persamaan kubik penulis dan gurunya cuba memahami model mekanik statistik di alam p-adic. Bidang ini dipelopori oleh mentor guruku Farrukh Mukhamedov dan rakannya Utkir Rozikov. Farrukh merupakan juga guru kepada penulis manakala Utkir adalah penilai tesis kedoktoran penulis. Mereka berdua antara mentor penulis dalam bidangnya kini. Mana tidak jatuhnya kuah jika tidak ke nasi. Untuk memahami model ini perlulah teori kebarangkalian dihadamkan. Mari kita mengimbas sejenak teori ini yang diaksiomkan oleh Kolmogorov secara teori sukatan (measure-theoretical). Secara umumnya Kolmogorov menggunakan asas kebarangkalian frekuensi (Mises) dalam aksiomnya, iaitu tidak negatif, dinormalisasikan kepada 1 dan penambahan, ditambah lagi dengan σ-penambahan. Inilah kebanyakkan disepakati setelah kaedah von Mises dalam kebarangkalian frekuansi disanggah dibeberapa tempat. Namun sanggahan tersebut tidaklah dirungkaikan selumatnya kerana aksiom Kolmogorov mengalihkan pandangan mata hampir kesemuanya.

Namun, kebarangkalian frekuensi itu masih ada asasnya. Sebagaimana semua beralih daripada nombor quaternion kepada analisis vektor, setiap kaedah masih ada kelebihannya. Kelebihan inilah yang digunakan Khrennikov untuk mengabsahkan teori kebarangkalian p-adic. Beliau menggunakan konsep rawak dalam kebarangkalian frekuensi untuk mendirikan teori kebarangkalian p-adic ini. Walaupun konsep ini cuba difahamkan dalam konteks aksiom Kolmogorov, namun ia tidak cukup tepat kerana Kolmogorov alamnya adalah nombor nyata. Asalnya kebarangkalian itu hanyalah satu nombor nisbah. Apabila Kolmogorov menggunakan pendekatan teori sukatan, maka sudah pasti jarak nyata biasa yang digunakan. Jika diingat kembali di tulisan lepas, penulis ada mengatakan hanya ada dua jarak yang diterbitkan daripada nombor nisbah: jarak nyata atau jarak p-adic. Jika jarak nyata kita ke alam nombor nyata dan ke alam p-adic kita jika sukatannya jarak p-adic. Inilah permulannya penerangan untuk kebarangkalian p-adic. Aksiom asal bagi Kolmogorov dikekalkan cumanya kini kita di alam p-adic, bukan nyata. Pendekatan ini tidaklah semudah ada disitu (nyata) dan dapatlah disini (p-adic). Sudah pasti perkara ini dijangkaan, tapi setelah selesai kebanyakkannya bangunan dalam teori kebarangkalian p-adic ini, sudah pasti banyak manfaatnya boleh kita dapatkan.

Teori kebarangkalian p-adic ini adalah satu model tidak Kolmogorov. Jika model Kolmogorov, nilai kebarangkalian itu hanyalah dari sifar ke satu, iaitu selang [0, 1]. Keunggulan kebarangkalian p-adic ini adalah nilai kebarangkaliannya adalah keseluruhan nombor p-adic itu, tanpa ada sekatan. Ini sedikit sebanyak dapat menerangkan erti kebarangkalian negatif (malah lebih daripada nombor satu mahupun nombor kompleks) di alam nombor nyata. Ini dapat memberikan ketepatan sebagai contoh asas nilai kebarangkalian negatif dalam mekanik kuantum. Ini kerana nombor p-adic tiada nombor negatif. Mudah untuk dilihat adalah penambahan tidak terbatas 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + . . . = −1 di alam 2-adic, tapi ia tidak menumpu di alam nyata. Mana tidaknya, mana mungkin penambahan nilai positif menjadi negatif. Ini sedikit contoh mengapa tiada nombor negatif di alam p-adic. Tapi ini sedikit sebanyak dapat merungkai apakah itu kebarangkalian negatif. Kita boleh mentafsirkan kebarangkalian (nombor nisbah) negatif sebagai satu kebarangkalian ketidak terhingga kecilnya diberi struktur lebih jelas kepada konvensional kebarangkalian sifar(0). Cuba diajukan pendekatan ini oleh Khrennikov kepada para-para pengkaji eksperimen namun masih tidak dapat disambut sepenuhnya dimana coretan beliau terhadap eksperimen terkenal “two slit experiment” di alam p-adic,

“Experimenters are not extremely interested to test deviations from the conventional quantum ideology. They have been performing new tests to improve violation of Bell’s inequality during the last 20 years. However, they tell that they are too busy to perform nonconventional tests. Moreover, young researchers are really afraid to do anything unconventional, since they would have problems to find job. Such unpleasant scientific situation is a sign of the deepest crisis in quantum foundations.”

Ini dipetik dari tulisan beliau pada 2009, namun kini penulis tidaklah tahu perkembangannya.

Kini mari kita kembali kepada mentor penulis yang melopori bidang statistik mekanik p-adic Model mereka berasaskan kekisi Bethe atau pokok Cayley. Setelah rangka kukuh disediakan dalam teori kebarangkalian p-adic, maka Farrukh dan Utkir menelusuri konsep mekanik statistik di alam padic. Bidang ini masih lagi diteruskan terutamanya oleh penulis dan rakan lain bawah didikan mereka. Sudah tentu banyak perbezaan daripada mekanik statistik konvensional, namun banyak juga persamaannya. Sebagai contoh kewujudan “phase transition”, sukatan Gibbs (Gibbs measure). Kelebihan mereka adalah kaedah yang mereka gunakan dalam mekanik statistik nyata diteruskan untuk membina asas mekanik statistik p-adic. Cuma mungkin apakah maksudnya belum benar benar didalami. Pernah penulis cuba untuk memahami asas mekanik statistik ini melalui teknik Dobrushin-Lanford-Ruelle dimana asas kebarangkalian bersyarat diutamakan, namun penulis sudah lama berhenti kerana sinar yang malap untuk memahami konsep kebarangkalian bersyarat p-adic bagi penulis. Akan tetapi nyalaan itu yang masih belum padam. Mungkin jika berkesempatan penulis akan melawat kembali nota-nota tersebut supaya buah fikiran itu masih dapat dijahit menjadi baju yg selesa dipakai.

Kaitan model mekanik statistik p-adic dengan penyelesaian persamaan polinomial yang penulis usahakan bersama gurunya adalah dalam menerangkan kewujudan sukatan Gibbs p-adic, dimana jika persamaan mempunyai solusi di alam p-adic, maka wujudlah sukatan itu. Walaupun asasnya, penulis belum nampak fasih, namun mungkin ia dapat dikukuhkan jika sedikit demi sedikit jahitan itu diuruskan dengan aman. Iutlah impian penulis untuk memahami struktur mekanik statistik p-adic yang lebih utuh dah luhur. Semoga dia dapat diterjemahkan seperti mana alim ulamak menulis buku berjilid semasa hayat, itu lah yang ingin penulis lakukan. Penjilidan hasil kajian penulis bersama sekolah pemikiran yang penulis anuti kini.

M. A. K. Ahmad

19 Julai 2023

FUNGSI NISBAH P-ADIC, PERKENALAN TEMAN YANG BAHARU

Ini merupakan catatan keempat daripada siri-siri perjalanan kajian penulis. Kali ini penulis akan memberitahu perihal yang membolehkan penulis mengenali rapat seorang lagi mentor dalam men- jalankan kajian matematik ini, iaitu Lingmin. Beliau, Mansur sangat penulis hargai kerana walaupun penulis sudah hanyut dalam pembikinan kertas-kertas kajian, mereka masih berada disitu untuk bersedia meneruskan hasil-hasil kajian bersama. Benar kata orang, “Berdisiplin pegangan utama dan kerjasama itu lebih mapan lalu mampan”.

Fungsi nisbah p-adic ini adalah perekat antara penulis dan Lingmin. Semasa pengajian penulis, ke- hulu dan kehilir tesis Lingmin ini akan dibawa. Buah fikiran beliau digunakan oleh penulis sebaiknya. Antaranya “minimal” dan “ergodic” merupakan suatu perkataan yang serasi bagi kami. Mereka berkenalan bilamana Lingmin dipanggil Mansur untuk melawat tempat pengajian penulis suatu masa dahulu dan penulis menjadi pemandu pelancongnya. Dijemput daripada lapangan terbang, pergi bawa makan malam, jalan-jalan hujung minggu dan hantar semula ke lapangan terbang. Bila penulis kenang semula, rupanya kebanyakkan pengkaji luar yang tiba, penulis akan menjadi supir mereka. Haha. Teringat seorang itu ahli matematik wanita dari Turkiye, Nazife; dua lelaki daripada Turkiye, Hasan dan Mutlay; seorang dari Uzbekistan, Otabek; dan seorang dari Tunisia; lupa namanya tapi ingat sebab dia ajak berniaga minyak zaitun. Haha. Katanya minyak zaitun Tunisia antara yang terbaik. Kebanyakkan mereka akan tidur dirumah seorang lagi guru dan penginspirasi penulis iaitu Pah Chin Hee.

Satu persamaan kehadiran mereka adalah mereka dijemput pasti ada terkait dengan Farrukh, seorang mentor awal penulis. Teladan yang diceritakan kepada penulis oleh Mansur tentang Farrukh adalah beliau akan pergi ke seminar-seminar matematik walaupun tidak memahaminya. Ini adalah untuk membiasakan diri dengan bahasa matematik itu sendiri. Daripada teladan inilah penulis amalkan bila berada di Paris suatu ketika dahulu. Disebabkan di Paris mudah untuk pergi dari satu institusi ke satu institusi lain dan banyak seminar-seminar matematik, jadi mudahlah untuk penulis mengamalkannya. Kembali semula kepada Lingmin, beliau dan Mansur lah yang banyak membantu penulis untuk mendapat tempat belajar di Paris. Sukar untuk dilupakan penulis kerana mengenali mereka itu sudah cukup nikmat. Mereka yang gigih mengkaji dan menulis dalam matematik, bidang yang penulis ceburi.

Biar penulis berbicara semula tentang perekat diawal tadi. Fungsi nisbah merupakan sebuah fungsi dimana penyebut Q(x) dan pengangka P(x) merupakan sebuah polinomial, dia ditulis P(x)/Q(x). Bezanya dalam kajian penulis, fungsi ini berada di suasana p-adic, pekali dan nilai masuknya adalah nombor p-adic. Fungsi nisbah p-adic ini ada terkait dengan kebarangkalian p-adic yang penulis sisipkan di penulisan lepas, dimana untuk menunjukkan kewujudan satu taburan kebarangkalian p-adic iaitu taburan Gibbs p-adic satu persamaan titik tetap perlu diselesaikan. Persamaan titik tetap itu merupakan titik tetap sebuah fungsi nisbah p-adic.

Bila berbicara fungsi nisbah ini, antara yang awal penulis belajar adalah peta logistik, h(x) = rx(1-x) dimana 0 ≤ r ≤ 4. Pada nilai parameter tertentu r, fungsi ini adalah terkawal dan pada nilai tertentu r yang lain dia adalah kacau. Dia boleh dilihat daripada rajah dwicabangan atas r yang mempunyai ciri “period-duobling”. Untuk pembuktian dia adalah celaru atau kacau, cukup untuk dinisbahkan kepada peta khemah dan peta khemah ini boleh dinisbah kemudiannya kepada dinamik anjak (“shift dynamic”) pada dua simbol. Seterusnya, penulis juga terdedah dengan “Mobius transformation”, ϕ(x) = (aX+b)/(cX+d) dalam suasana pelengkap nombor nyata iaitu nombor kompleks. Disini komposisi fungsi ini boleh difahami sebagai pendaraban matrik bersaiz 2 x 2, (a, b ; c, d).

Pengelasan dalam dinamik fungsi nisbah ini dalam suasana kompleks, atau lebih tepat sfera Reimann adalah terbahagi kepada dua keaadan iaitu set Fatou dan set Julia. Kedua-duanya adalah tidak berubah bawah fungsi nisbah ini. Secara umumnya set Julia adalah kekacauan dan set Fatou adalah terkawal. Mereka melengkapi satu sama lain. Jika pergi jauh sedikit, untuk set Fatou, jarak imej dua titik yang berbeza adalah sama atau kurang daripada jarak asal mereka. Manakala untuk set Julia, ada unsur pengembangan didalamnya. Teorem yang gah dalam memahami set Fatou adalah “No Wandering Domain”, tiada yang merayau-rayau. Mungkin kerana dia terkawal. Manakala, set Julia sangat sinonim dengan unsur fractal dimana dia bersekali gambarannya dengan set Mandrelbrot. Fractal itu mempunyai unsur berulangan. Dimensinya bukan nombor bulat. Contoh mudah adalah ukuran panjang pantai mahupun awan. Ataupun contoh lain, pokok yang telah gugur semua daun-daunnya. Jika kita patahkan dahan pokok tersebut, maka kita dapati yang kita patahkan itu semirip pokok yang asal. Demikianlah jika kita patahkan rantingnya. Mungkin bukanlah unsur fractal sempurna tapi cukuplah untuk dibayangkan.

Perkara-perkara ini yang berlaku dalam suasana sfera Reimann adalah juga dibawa jika suasana p-adic diambil kira. Fungsi nisbah p-adic juga dikelaskan kepada set Fatou dan set Julia. Jika ingin mencari persamaan dan perbezaan antara dunia nombor nyata dan nombor p-adic adalah dalam suasana nombor nyata (sfera Reimann lebih tepat), kita dapati set Fatou boleh menjadi set kosong. Manakala dalam suasana p-adic, kita dapati set Julia yang boleh jadi set kosong. Mungkin itulah realiti kehidupan nyata. Manusia sering galau, kacau dan celaru. Manakala suasana p-adic itu mungkin terjadi bilamana pemerintahan diktator dan kuku besi terlihat. Semuanya kelihatan terkawal, mungkin. Atau mungkin dalam pandangan Karl Marx dan pemikirannya.

Mari kembali kepada matematiknya. Fungsi nisbah p-adic ini agak menarik bagi penulis. Walaupun tidak dapat dibayangi dengan gambaran seperti dalam suasana nyata, namun pembuktian untuk memahami set Fatou dan set Julia dapat dilakukan dengan tepat atau “rigorously” tanpa perlukan gambaran. Pembuktian ini ada melibatkan teori nombor, analisis, dan lain-lain secara langsung atau tidak. Sebagai contoh dua hasil oleh Lingmin banyak penulis gunakan, 1-Lipschitz yang menerangkan minimal dalam suasana set Fatou dan “ p-adic weak repeller” dalam menerangkan set Julia. Buah fikiran ini adalah cetusan Farrukh yang menggunakan kaedah Lingmin ini. Dari situ jugalah, penulis diperkenalkan oleh Mansur kepada Lingmin, dan kini mereka masih meneruskan jalur-jalur kajian ini. Inilah yang dikatakan nikmat oleh penulis awal tadi. Seterusnya penulis ada sedikit membaca tentang “no Wandering Domain” dalam suasana p-adic, cuma penulis belum habis menghadam dan meneruskannya.

Cukuplah sampai disini penulis memberitahu serba sedikit kajian-kajian yang penulis hadapi. Telah pun disimpulkan dalam empat tulisan. Jika ada perkara baru dan kerjasama baru boleh penulis kongsikan lagi. Sekarang penulis sedang melaraskan pemikirannya terhadap kajian-kajian yang penulis lakukan. Walaupun tidaklah berimpak tinggi kepada masyarakat secara terus, harapnya ada sedikit sumbangan terhadap ilmu itu sendiri. Semoga juga penulis dapat menjadi lebih agresif dan proaktiv seperti mentor-mentornya yang tidak lelah membantu generasi seterusnya mempersiapkan diri dengan ilmu-ilmu ini.

M. A. K. Ahmad

11 September 2023

NOMBOR DALAM BENTUK n-ARY

Adalah sedia maklum bahawa nombor yang digunakan kini adalah dalam bentuk sistem perpuluhan. Sebagai contoh

2463= 2 ×10^3+4 × 10^2+6 × 10+3 × 10^0.

Dalam sistem ini 10 adalah asasnya dan nilai digit setiap tempat perpuluhan adalah baki akibat pembahagian kepada 10, iaitu 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. Bagi nombor asas, kita boleh menulis nombor ini dalam bentuk sistem perpuluhan adalah dengan dibahagi kepada 10 dan merekod setiap baki. Bagaimana pula degan nombor integer negatif? Jawapannya kita hanya perlu meletakkan simbol negatif. Secara umumnya, semua nombor nyata boleh ditulis dalam bentuk sistem perpuluhan seperti berikut

d=d_m d_(m-1)…d_1 d_0.d_(-1) d_(-2)…

dimana m nombor integer dan d_i∈{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} dengan d_m≠0.

Dalam erti kata lain kita ada

d=∑_(i=-∞)^m d_i ×10^i.

Titik dalam bentuk perpuluhan adalah untuk menentukan dimana bahagian pecahan dan dimana bahagian integer bagi satu-satu nombor nyata. Pemilihan nilai 10 adalah konvensyen yang diguna pakai dalam memudahkan pemahaman kita terhadap nilai nombor tersebut. Kita juga boleh menggunakan nilai lain seperti 2, 3, 4, dan seterusnya.

Ini membawa kita kepada sistem nombor n-ary. Contoh mudah adalah 2-ari, atau binari. Setiap nombor nyata boleh ditulis sama seperti bentuk perpuluhan. Cumanya kita akan menggantikan nilai 10 kepada 2. Kita akan lihat bentuk seperti berikut bila sistem binari yang digunakan

a=a_m a_(m-1)…a_1 a_0.a_(-1) a_(-2)…=∑_(i=-∞)^ma_i ×2^i

dimana m nombor integer dan a_i∈{0,1} dengan a_m=1. Dalam alam binari berikut adalah nombor-nombor asas (nombor integer positif)

.0,1,10,11,100,101,110,111,….

Sama seperti sistem perpuluhan, kita hanya perlu tambah simbol negatif untuk menulis nombor integer negatif dalam sistem binari. Bagaimana pula dengan nilai pecahan. Sebagai contoh r=1/8 . Dalam sistem perpuluhan r=0.125. Ini diperolehi daripada 1 dibahagi 8 seperti biasa. Manakala dalam sistem binari, r=0.001. Bagaimana bentuk binari ini diperolehi? Salah satu caranya adalah dengan mendarab 2 nombor r dan lihat bahagian integer nya adalah 0 atau 1. Ini kerana dengan pendaraban ini, kita telah mengalihkan satu titik perpuluhan kekanan. Kemudian ambil hanya bahagian pecahan untuk kita cari nilai digit yang seterusnya. Proses ini diteruskan sehingga kita mencapai bentuk seperti yang dimahukan.

Proses ini boleh dilakukan jika nilai pecahan adalah di antara 0 dan 1. Jika nilai pecahan lebih daripada satu, kita hanya perlu pertimbangkan nilai pecahan di antara 0 dan 1. Sebagai contoh,

9/4=2+1/4=10.01.

Selain itu, kedudukan pecahan (bagi nilai diantara 0 dan 1) ini juga menarik untuk dibincangkan. Jika sistem perpuluhan, kita akan membuat 10 senggat sama jarak pada selang [0,1]. Kita akan dapat sepuluh selang iaitu

[0,0.1),[0.1,0.2),[0.2,0.3),[0.3,0.4),[0.4,0.5),[0.5,0.6),[0.6,0.7),[0.7,0.8 ),[0.8,0.9),[0.9,1]

Daripada sini kita ketahui yang mana digit pertama pecahan adalah 1 jika dalam selang yang pertama dan 4 jika dalam selang [0.4,0.5). Dan selebihnya. Jika kita membuat 10 senggat yang sama jarak kepada 10 selang yang tadi, kita akan mencari digit kedua pula. Dan seterusnya kita bahagikan selang2 ini dalam 10 bahagian setiap satu untuk mengetahui kedudukan nombor atau nilai digit nombor.

Proses yang kita lakukan ini boleh juga dilakukan kepada sistem binari. Bezanya cuma kita akan bahagikan kepada dua bahagian pada setiap tahap proses. Sebagai contoh, lihat Gambar 1 seperti berikut

Dengan menggunakan sistem nombor n-ari ini juga kita boleh membuat set Cantor. Pembinaan set Cantor ini adalah dengan mempertimbang selang [0,1] dan menggunakan sistem nombor 3-ari dimana hanya ada simbol/ digit 0,1,2. Pembinaannya adalah dengan membuang semua nombor yang mempunyai digit 1 dalam sistem nombor 3-ari. Disebabkan ini kita boleh membuang selang yang mempunyai digit 1. Rujuk proses pembinaannya pada Gambar 2 seperti berikut

Selang (1/3,2/3) dibuang pada tahap pertama kerana digit pertamanya adalah 1 Selang yang tinggal dilabel C_1 dan diteruskan prosesnya sehingga tiada lagi digit 1 dan set Cantor ini dilabel kan sebagai C.

Menarik set Cantor ini kerana memiliki ciri fraktal. Jika diukur selang yang kita buang, kita akan dapati jarak selang yang dibuang adalah 1. Ini bermakna set Cantor mempunyai ukuran 0 kerana jarak selang asal [0,1] adalah 1. Ini sangat menarik kerana set Cantor bukan set kosong malah dia adalah set tidak boleh bilang kerana boleh dibuatkan fungsi bijektif diantara set Cantor dan selang [0,1] dimana selang [0,1] adalah set tidak boleh bilang. Cara membuat fungsi ini secara mudah adalah dengan menggunakan sistem binari untuk selang [0,1] dan dipetakan 0 kepada kosong dan 1 kepada 2. Dengan cara ini dapat kita menunjukkan set Cantor adalah set tidak boleh bilang.

Perkara menarik lain sistem nombor n-ari ini adalah jujukan binari atau rentetan binari, iaitu jujukan 0 dan 1. Kita boleh memetakan set jujukan ini dengan selang [0,1]. Diimbas kembali bagaimana Markov menjelmakan alat yang disebut sekarang sebagai rantai Markov. Beliau mengkaji turutan konsonan dan vowel dalam teks. Dengan kajian ini dan sistem binari, dapat diperkenalkan ukuran Markov yang merupakan ukuran selain ukuran yang sering digunakan pada waktu itu, iaitu ukuran Bernoulli. Kini ukuran Markov dan rantai Markov digunakan dalam banyak bidang.

Dalam sistem n-ary ini, ukuran yang digunakan adalah nilai mutlak, iaitu nilai mutlak nombor nyata ada sifar atau nilai positif. Ukuran yang digunakan adalah jarak antara dua nombor pada garis nombor. Jadi, dengan menggunakan ukuran ini, kita dapat mengatakan janjang

d=∑_(i=-∞)^m d_i ×n^i

adalah menumpu dengan membandingkan dia bersama janjang/ siri geometri. Ini kerana kita menambah nombor yang kecil bagi nilai mutlak n^i jika i menghampiri -∞. Perkara ini membuka kepada satu lagi cara untuk menulis nombor, iaitu sistem n-adic.

Kesimpulannya, n-ari sistem dapat membantu kita untuk memahami nombor. Dia dapat menyelesaikan satu-satu masalah dan mencipta satu-satu masalah. Perkara ini dapat mengukuhkan lagi pemahaman kita dan juga kepercayaan kita. Baik atau buruk terserah untuk kita cuba menjelaskan dan memahamkan.

M. A. K. Ahmad

7 Februari 2024